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笔记
概率论
Last edited: 2025-1-4
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概率论基本概念

随机试验

  • 相同条件重复进行
  • 可能结果不止一个
  • 试验前不能确定哪个结果会出现
用表示

样本空间

可能结果的集合,用表示
集合中的元素为样本点

随机事件

试验的样本空间的子集
故随机事件为一个集合
事件发生:出现集合中的一个样本点
全集:必然事件
空集:不可能事件

随机事件概率

事件间的关系

ㅤ
符号
含义
包含关系
发生必然导致发生
和事件
至少一个发生
积事件
当且仅当同时发生
差事件
发生,不发生
互斥事件
和不能同时发生
对立事件
-

四大公式

加法

加奇减偶(抽屉原理)

减法

notion image
*将对立事件转化为减法计算

乘法

  • 当相互独立时,
*对立事件对独立性无影响,即上述的可随意取对立事件。

除法(条件概率)

相容性

互不相容:不能同时发生:
互不相容的情况下,可列可加性
相互独立:
notion image

古典概型(等可能概型)

在试验满足以下条件时可以使用古典概型:
  • 试验结果只有有限个
  • 每个基本事件发生的可能性相等
计算公式:
  1. 放回抽样
    1. 每次抽出来的概率都一样。
  1. 不放回抽样(超几何分布)
💡
若试验分多个阶段完成,通常考虑全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式

将样本空间划分为若干个互不相容的事件,且(即是对样本空间的一个划分,或者完备事件组),则对任意事件:
全概率公式的意义在于,通过已知的条件概率来求解未知事件的概率。
将A的可能性在所有划分中提取出来并相加。

贝叶斯公式

贝叶斯公式是在已知某事件A发生的条件下,逆向推导导致该事件发生的各种原因的概率。其公式为:
贝叶斯公式常用于已知结果反推原因的概率问题。
其中分母是全概率公式,分子是全概率公式中的某个项。

伯努利概型

伯努利概型是一种特殊的概率模型,用于描述只有两种可能结果的独立重复试验。每次试验成功的概率为,失败的概率为,且各次试验之间相互独立。
记n次试验中成功k次的概率为:

一维随机变量及其分布

离散型随机变量分布律

分布律:
notion image
  • 求法:先求取值,再求概率

复合求法(已知一个变量分布律求另一个)

如果要基于一个的分布律求的分布律,先求的所有取值,然后根据原分布律的值进行填充即可。
例
notion image

二项分布

只有两种可能
分布律:

泊松分布

二项分布的极限逼近
其中,即
性质
  • 期望:
  • 方差:

连续性随机变量相关计算

分布函数

分布律的连续表示
值域为,且递增
一般为分段函数。且分段点处连续。即分段点可以灵活取值,避免函数无意义的情况。
性质
  • 规范性
    • 且分段点处连续。
      可以由此确定对分布函数求不定积分之后的常数值。
      例
      notion image
求法

分布密度

更好地反映随机变量的分布趋势
性质
  • 规范性:
    • 可以用来列方程求中的参数。
 

区间概率

💡
单点概率为0:

均匀分布

概率密度函数
分布函数
期望
方差

正态分布

概率密度函数
分布函数
标准化
期望
方差

复合求法(已知其中一个分布函数求另一个)

notion image
  1. 找的分段点:将的分段点带入
  1. 根据分段点,分区间求的分布函数
    1. notion image
  1. 分布函数求导得密度函数。
例
notion image
notion image
notion image

二维随机变量及其分布

离散型

边缘分布律

  • 将二维压缩为一维,只注重其中一个维度。
  • 行行相加,列列相加。
notion image

条件分布律

应用条件概率公式
notion image
即变量在这一行的占比。

独立性

小题:
  1. 写成矩阵
  1. 每行成比例就是独立的
大题:
  • 验证对所有 是否满足,即联合概率等于边缘概率乘积
  • 也可以直接举反例

两个离散型随机变量的分布律

  • 列取值,求概率

连续型

  • 注意:密度函数多为分段函数,求解的过程中需要保持分段状态

规范性

区域概率

边缘密度

需要保留哪个变量就把另一个积分掉
注意积分上下限,与变量有关
画图

条件密度

独立性

联合密度=边缘密度乘积

两个连续型随机变量的函数分布

例:
  1. 由求的分段点
    1. 由的非零的边角点代入
  1. 分区间求分布函数
    1. 求导求概率密度
     

    随机变量的数字特征

    notion image

    期望

    线性运算即可
    离散型:求矩。
    连续型:
    • 一维:
    • 二维:
      • ,为联合密度
    已知几维密度,用几维积分。

    方差

    定义:随机变量与其期望值的平方差的期望。
    若 与 独立:
    方差常用期望算,同时适用于离散型和连续性随机变量。
    离散:
    连续:

    协方差

    • (交换律)
    • (分配律)

    相关系数

      • :xy不相关
      • :xy满足线性关系
    💡
    相关性反映的是线性关系。
    不相关可以推独立,独立不能推不相关,独立不相关。
    以上的离散和连续变量的区别主要体现在计算上。

    各种分布特征

    伯努利分布

    • n重试验
    • 独立
    • 只有两种结果

    指数分布

     

    切比雪夫不等式

    用来估计概率。
    几何上,离对称轴特别远的概率小。
    规律:大小不一,小大有一
    例
    notion image
    notion image

    大数定律

    试验次数很大时,可以用事件的频率代替事件的概率

    中心极限定理

    条件:
    1. 多个变量
    1. 独立
    1. 同分布

    归纳

    独立同分布,其和为,则近似有
    即无论什么分布,其和都近似服从正态分布。
    便于计算,可以写成
    这样可以计算均值和方差。
    步骤:
    1. 求正态分布
    1. 标准化
    1. 查表得答案
    例
    notion image
     
     
     
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    2024-2025 Richard Liu.

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