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在整理
二元运算
定义
特征
- 进行运算的两个元素可以在S中任取
- S对运算封闭
运算表示
二元
一元
前缀表示法
运算表
模运算表 (mod 5)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
3 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
4 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
算律
交换律
二元可交换
结合律
二元可结合
幂等律
消去律
如果对于任意，有
则称该运算满足消去律。
判别：
分配律
如果对于任意，有
则称该运算满足分配律。
特异元素
幺元
对任意，存在，有
为左幺元，为右幺元。
既是左幺元又是右幺元才能是幺元。
二元运算中幺元唯一，是左幺元也是右幺元
零元
对任意，存在，有
为左零元，为右零元。
既是左零元又是右零元才能是零元。
二元运算中零元唯一，是左零元也是右零元
逆元
为的幺元，对任意，存在，有
为左逆元，为右逆元。
可结合二元运算中逆元唯一，是左逆元也是右逆元
幺元和零元是针对整个集合的，逆元是针对每个元素的（有些有，有些没有）
集合 | 运算 | 幺元 | 零元 | 逆元 |
普通加法+ | 0 | 无 | x的逆元 -x | |
ㅤ | 普通乘法 | 1 | 0 | x的逆元
(属于给定集合,) |
矩阵加法+ | n阶全0矩阵 | 无 | X逆元-X | |
ㅤ | 矩阵乘法 | n阶单位矩阵 | n阶全0矩阵 | X的逆元
（X是可逆矩阵） |
P(B) | 并 | B | 的逆元为 | |
ㅤ | 交 | B | B 的逆元为 B | |
ㅤ | 对称差 | 无 | X 的逆元为 X |
由运算表判别算律
- 交换律：运算表关于主对角线对称。
- 幂等律：主对角线元素排列与表头顺序一致。
- 消去律：所在的行与列中没有重复元素。
- 单位元: 所在的行与列的元素排列都与表头一致。
- 零元：元素所在的行与列都由该元素自身构成。
- A 的可逆元：a 所在的第行 列的元素为 e，且第 j 行 i 列的元素也是 e，那么 a 与第 j 个元素互逆。
- 结合律：除了单位元、零元之外，要对所有3个元素的组合验证表示结合律的等式是否成立。
代数系统
定义
非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 组成的系统称为一个代数系统, 简称代数，记做 。
判别
- 运算封闭
- 二元运算
代数常数
有的代数系统定义指定了中的特殊元素，如幺元，零元等
可以一并记在代数系统中
例：
子代数
对于代数系统，为的非空子集，若对运算都封闭，且具有与相同的代数常数（只需检查原代数系统声明的代数常数）
则称为的子代数（系统）。
术语
- 最大的子代数 就是V 本身。
- 如果V 中所有代数常数构成集合 B，且 B 对V 中所有运算封闭，则 B 就构成了V 的最小的子代数。
- 最大和最小子代数称为V 的平凡的子代数。
- 若 B 是 S 的真子集，则 B 构成的子代数称为V 的真子代数 。
积代数
代数系统，是二元运算。的积代数是
则对，有
同态
设代数系统，其中为二元运算。
若满足，有
则称为和的同态映射，简称同态
自同态
到同一个系统的同态
单同态、满同态、同构
映射为单射，满射，双射。
有代数常数
典型的代数系统
半群
设为代数系统（对封闭），为二元运算
- 若
- 可结合
则为半群
例子
- ，为集合的对称差
- ，为算法，
- 为半群，其中为非零实数集合，运算定义如下：
- 若
- 可结合
- 可交换
则为可交换半群
- 若
- 可结合
- 含有幺元
则为含幺半群/独异点
例子
- 为交换半群和独异点，其中为集合的对称差运算。
- ，为算法，
- 为独异点，不是交换半群，其中为函数的复合运算。
子半群
- 为半群
- 是的非空子集
是的子半群，当且仅当
- 对运算封闭
子独异点
- 为独异点
- 是的非空子集
是的子独异点，当且仅当
- 对运算封闭
例子
- 设为可交换独异点，, 则为的子独异点。
证明
因为对于幺元 有, 即, 为的非空子集。
，有
由于运算是可交换的，得：
即，即对运算是封闭的。
所以为的子独异点。
群
对于半群
- 若
- 为二元运算
- 可结合
- 有幺元
则为群
- 群没有零元
交换群（Abel群）
对群
- 若
- 可结合
- 可交换
- 有幺元
则为交换群
Klein四元群
设上的运算由下表给出
运算表特征：
- e为G中的幺元
- 对称性：运算可交换
- 主对角线元素都是幺元：每个元素是自己的逆元
- a, b, c 中任两个元素运算都等于第三个元素.
术语
- 若群 是有穷集，则称 是有限群，否则称为无限群
- 群 的基数（元素个数）称为群的阶，有限群 的阶记作
- 群中元素的次幂定义为进行次运算
阶
设 是群
- 成立的最小正整数
称为 的阶（或周期），记作
- 称 为 阶元
- 若 不存在，则为无限阶元
例子
在任何群中，幺元的阶都是1
子群
定义
设 是群
- 是 的非空子集
- 关于 中的运算构成群
则称 是的子群, 记作
- 若
则是的真子群，记作
- 任何群 都存在子群
判定定理
设 是群
- 是 的非空子集
则是的子群
平凡子群
设 是群
- 和 都是 的子群，称为 的平凡子群
生成子群
定义
设 G 为群
则 是 的子群，称为由 生成的子群，记作
，即做次某种运算，并不是数集中的幂。
群的中心
设为群
- 令
则是 的子群，称为 的中心。
对于Abel群（交换群），其中心为自身。
例题
循环群
定义
设 为群，若
则称 为循环群，记作
- 为 的生成元
n阶循环群
- 为 的生成元
- 为阶元
则 为n阶循环群，
- 若是 阶循环群，则 是 的生成元当且仅当 是小于 且与 互质的正整数。
证明
无限循环群
- 为 的生成元
- 为无限阶元
则 为无限循环群
- 若是无限循环群，则 只有 和 两个生成元。
循环群的子群
设是循环群
- 的子群仍是循环群
- 是无限循环群， 的子群除以外都是无限循环群
- 若是 阶循环群，则对 的每个正因子， 恰好含有一个 阶子群，就是由生成的子群
置换群
元置换
- 设 上的双射函数 称为上的 元置换。
例子
均为5元置换。
元轮换
对于 元置换 ，
- 中的其他元素不变
则称为 上的 阶轮换。记作
首尾相接
置换转轮换
- 每个置换都可以写成轮换，但可能不止一个轮换。
- 置换转轮换时产生的一阶轮换可省略。
经过有限步可得轮换分解式
例子
元置换的乘法与求逆
- 两个 元置换的乘法就是函数的复合运算
- 元置换的求逆就是求反函数.
例子：
- 其中，先做再做。
- 将作为的延伸，还是从做起，每做一步就看中是否可以继续再做一步.
- 如，，
- 第一个箭头是的，第二个箭头是的
