曲线积分
第一类曲线积分
无向，下限<上限
标量场积分
求加权弧长
参数方程形式
转化为
如果是的形式，把x看成参数即可
如果是空间曲线（即多一个维度）则类似推广即可
第二类曲线积分
有向，有起点终点
向量场积分
求功或流量
参数方程形式
对向量积分：
三维变量类似拓展
两类积分的关系
第二类转第一类
就是将方向向量考虑进来
参考物理上的公式：
格林公式
将第二类闭合曲线积分直接转化为二重积分
逆时针为正方向
求偏导的对象要反过来
条件
- 单连通
- 在D内有连续偏导
路径无关性
则积分只与起点和终点位置有关，并且闭曲线的积分为0
这样就可以使用Newton-Leibniz公式
其中为原函数
原函数必须满足路径无关性且一阶可偏导
通过曲线积分求原函数
曲面积分
第一类曲面积分
投影法
转换为二重积分，要加
- 积分曲面可以带入被积函数
- 曲面无方向
参数方程形式
第二类曲面积分
投影法
要注意侧的方向，以此确定积分的正负
投影到XoY，就把z换为xy，不用加东西
其他的投影方式完全类似
参数方程形式
两类积分的关系
第二类转第一类
高斯公式
闭曲面积分转化为三重积分
如果，就可以算体积
斯托克斯公式
行列式形式
路线无关性
- 即
